◎历一
夫明时治历，自黄帝、尧、舜与三代之盛王，莫不重之，其文备见于传记矣。虽去古既远，其法不详，然原其要，不过随时考验，以合于天而已。汉刘歆作《三统历》，始立积年日法，以为推步之准。后世因之，历唐而宋，其更元改法者，凡数十家，岂故相为乖异哉？盖天有不齐之运，而历为一定之法，所以既久而不能不差，既差则不可不改也。
元初承用金《大明历》，庚辰岁，太祖西征，五月望，月蚀不效；二月、五月朔，微月见于西南。中书令耶律楚材以《大明历》后天，乃损节气之分，减周天之秒，去交终之率，治月转之余，课两曜之后先，调五行之出没，以正《大明历》之失。且以中元庚午岁，国兵南伐，而天下略定，推上元庚午岁天正十一月壬戌朔，子正冬至，日月合璧，五星联珠，同会虚宿六度，以应太祖受命之符。又以西域、中原地里殊远，创为里差以增损之，虽东西万里，不复差忒。遂题其名曰《西征庚午元历》，表上之，然不果颁用。
至元四年，西域札马鲁丁撰进《万年历》，世祖稍颁行之。十三年，平宋，遂诏前中书左丞许衡、太子赞善王恂、都水少监郭守敬改治新历。衡等以为金虽改历，止以宋《纪元历》微加增益，实未尝测验于天，乃与南北日官陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨渊、王素、岳铉、高敬等参考累代历法，复测候日月星辰消息运行之变，参别同异，酌取中数，以为历本。十七年冬至，历成，诏赐名曰《授时历》。十八年，颁行天下。二十年，诏太子谕德李谦为《历议》，发明新历顺天求合之微，考证前代人为附会之失，诚可以贻之永久，自古及今，其推验之精，盖未有出于此者也。今衡、恂、守敬等所撰《历经》及谦《历议》故存，皆可考据，是用具著于篇。惟《万年历》不复传，而《庚午元历》虽未尝颁用，其为书犹在，因附著于后，使来者有考焉。作《历志》。
授时历议上
验气
天道运行，如环无端，治历者必就阴消阳息之际，以为立法之始。阴阳消息之机，何从而见之？惟候其日晷进退，则其机将无所遁。候之之法，不过植表测景，以究其气至之始。智作能述，前代诸人为法略备，苟能精思密索，心与理会，则前人述作之外，未必无所增益。
旧法择地平衍，设水准绳墨，植表其中，以度其中晷。然表短促，尺寸之下所为分秒太、半、少之数，未易分别。表长，则分寸稍长，所不便者，景虚而淡，难得实景。前人欲就虚景之中考求真实，或设望筒，或置小表，或以木为规，皆取表端日光下彻圭面。今以铜为表，高三十六尺，端挟以二龙，举一横梁，下至圭面，共四十尺，是为八尺之表五。圭表刻为尺寸，旧寸一，今申而为五，厘毫差易分。别创为景符，以取实景。其制以铜叶，博二寸，长加博之二，中穿一窍，若针芥然，以方跂为趺，一端设为机轴，令可开阖，榰其一端，使其势斜倚，北高南下，往来迁就于虚景之中，窍达日光，仅如米许，隐然见横梁于其中。旧法以表端测晷，所得者日体上边之景，今以横梁取之，实得中景，不容有毫末之差。
地中八尺表景，冬至长一丈三尺有奇，夏至尺有五寸。今京师长表，冬至之景七丈九尺八寸有奇，在八尺表则一丈五尺九寸六分；夏至之景一丈一尺七寸有奇，在八尺表则二尺三寸四分。虽晷景长短所在不同，而其景长为冬至，景短为夏至，则一也。惟是气至时刻考求不易，盖至日气正，则一岁气节从而正矣。刘宋祖冲之尝取至前后二十三四日间晷景，折取其中，定为冬至，且以日差比课，推定时刻。宋皇祐间，周琮则取立冬、立春二日之景，以为去至既远，日差颇多，易为推考。《纪元》以后诸历，为法加详，大抵不出冲之之法。新历积日累月，实测中晷，自远日以及近日，取前后日率相埒者，参考同异，初非偏取一二日之景，以取数多者为定，实减《大明历》一十九刻二十分。仍以累岁实测中晷日差分寸，定拟二至时刻于后。
推至元十四年丁丑岁冬至
其年十一月十四日己亥，景长七丈九尺四寸八分五厘五毫；至二十一日丙午，景长七丈九尺五寸四分一厘；二十二日丁未，景长七丈九尺四寸五分五厘。以己亥、丁未二日之景相校，余三分五毫为晷差，进二位；以丙午、丁未二日之景相校，余八分六厘为法；除之，得三十五刻；用减相距日八百刻，余七百六十五刻；折取其中，加半日刻，共为四百三十二刻半；百约为日，得四日；余以十二乘之，百约为时，得三时，满五十又作一时，共得四时；余以十二收之，得三刻；命初起距日己亥算外，得癸卯日辰初三刻为丁丑岁冬至。此取至前后四日景。
十一月初九日甲午，景七丈八尺六寸三分五厘五毫；至二十六日辛亥，景七丈八尺七寸九分三厘五毫；二十七日壬子，景七丈八尺五寸五分。以甲午、壬子景相减，复以辛亥、壬子景相减，准前法求之，亦得癸卯日辰初三刻。至二十八日癸丑，景七丈八尺三寸四厘五毫，用壬子、癸丑二日之景与甲午景，准前法求之，亦合。此取至前后八九日景。
十一月丙戌朔，景七丈五尺九寸八分六厘五毫；二日丁亥，景七丈六尺三寸七分七厘；至十二月初六日庚申，景七丈五尺八寸五分一厘。准前法求之，亦在辰初三刻。此取至前后一十七日景。
十月二十一日丙子，景七丈九寸七分一厘；至十二月十六日庚午，景七丈七寸六分；十七日辛未，景七丈一寸五分六厘五毫。准前法求之，亦得辰初三刻。此取至前后二十七日景。
六月初五日癸亥，景一丈三尺八分；距十五年五月癸未朔，景一丈三尺三分八厘五毫；初二日甲申，景一丈二尺九寸二分五毫。准前法求之，亦合。此取至前后一百六十日景。
推十五年戊寅岁夏至
五月十九日辛丑，景一丈一尺七分七厘五毫；距二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分；二十九日辛亥，景一丈一尺八寸五厘五毫。用辛丑、庚戌二日之景相减，余二厘五毫，进二位为实；复用庚戌、辛亥景相减，余二分五厘五毫为法；除之，得九刻，用减相距日九百刻，余八百九十一刻；半之，加半日刻，百约，得四日；余以十二乘之，百约，得十一时；余以十二收为刻，得三刻；命初起距日辛丑算外，得乙巳日亥正三刻夏至。此取至前后四日景。
十四年十二月十五日己巳，景七丈一尺三寸四分三厘；距十五年十一月初二日辛巳，景七丈七寸五分九厘五毫；初三日壬午，景七丈一尺四寸六厘。用己巳、壬午景相减，以辛巳、壬午景相减除之，亦合。此用至前后一百五十六日景。
十四年十二月十二日丙寅，景七丈二尺九寸七分二厘五毫；十三日丁卯，景七丈二尺四寸五分四厘五毫；十四日戊辰，景七丈一尺九寸九厘；距十五年十一月初四日癸未，景七丈一尺九寸五分七厘五毫；初五日甲申，景七丈二尺五寸五厘；初六日乙酉，景七丈三尺三分三厘五毫。前后互取，所得时刻皆合。此取至前后一百五十八九日景。
十四年十二月初七日辛酉，景七丈五尺四寸一分七厘；初八日壬戌，景七丈四尺九寸五分九厘五毫；初九日癸亥，景七丈四尺四寸八分六厘；距十五年十一月初九日戊子，景七丈四尺五寸二分五毫；初十日己丑，景七丈五尺三厘五毫；十一日庚寅，景七丈五尺四寸四分九厘五毫。以壬戌、己丑景相减为实，以辛酉、壬戌景相减为法，除之；或以壬戌、癸亥景相减，或以戊子、己丑景相减，若己丑、庚寅景相减，推前法求之，皆合。此取至前后一百六十三四日景。
推十五年戊寅岁冬至
其年十一月十九日戊戌，景七丈八尺三寸一分八厘五毫；距闰十一月初九日戊午，景七丈八尺三寸六分三厘五毫；初十日己未，景七丈八尺八分二厘五毫。用戊戌、戊午二日景相减，余四分五厘为晷差，进二位，以戊午、己未景相减，余二寸八分一厘为法，除之，得一十六刻，加相距日二千刻，半之，加半日刻，百约，得十日；余以十二乘之，百约为时，满五十又进一时，共得七时；余以十二收为刻；命初起距日己亥算外，得戊申日未初三刻为戊寅岁冬至。此取至前后十日景。
十一月十二日辛卯，景七丈五尺八寸八分一厘五毫；十三日壬辰，景七丈六尺三寸一厘五毫；闰十一月十五日甲子，景七丈六尺三寸六分六厘五毫；十六日乙丑，景七丈五尺九寸五分三厘；十七日丙寅，景七丈五尺五寸四厘五毫。用壬辰、甲子景相减为实，以辛卯、壬辰景相减为法，除之，亦得戊申日未初三刻。或用甲子、乙丑景相减，推之，亦合。若用辛卯、乙丑景相减为实，用乙丑、丙寅景相减，除之，并同。此取至前后十六七日景。
十一月初八日丁亥，景七丈四尺三分七厘五毫；闰十一月二十日己巳，景七丈四尺一寸二分；二十一日庚午，景七丈三尺六寸一分四厘五毫。用丁亥、己巳景相减为实，以己巳、庚午景相减，除之，亦同。此取至前后二十一日景。
六月二十六日戊寅，景一丈四尺四寸五分二厘五毫；二十七日己卯，景一丈四尺六寸三分八厘；至十六年四月二日戊寅，景一丈四尺四寸八分一厘。以二戊寅景相减，用后戊寅、己卯景相减，推之，亦同。此取至前后一百五十日景。
五月二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分；至十六年四月二十九日乙巳，景一丈一尺八寸六分三厘；三十日丙午，景一丈一尺七寸八分三厘。用庚戌、丙午景相减，以乙巳、丙午景相减，推之，亦同。此取至前后百七十八日景。
推十六年己卯岁夏至
四月十九日乙未，景一丈二尺三寸六分九厘五毫；二十日丙申，景一丈二尺二寸九分三厘五毫；至五月十九日乙丑，景一丈二尺二寸六分四厘。以丙申、乙丑景相减，余二分九厘五毫为晷差，进二位；以乙未、丙申景相减，得七分六厘为法；除之，得三十八刻；加相距日二千九百刻，半之，加半日刻，百约，得十五日；余以十二乘之，百约，得二时；余以十二收之，得二刻；命初起距日丙申算外，得辛亥日寅正二刻为夏至。此取至前后十五日景。
三月二十一日戊辰，景一丈六尺三寸九分五毫；六月十六日壬辰，景一丈六尺九分九厘五毫；十七日癸巳，景一丈六尺三寸一分一厘。用戊辰、癸巳景相减，以壬辰、癸巳景相减，准前法推之，亦合。此取至前后四十二日景。
三月初二日己酉，景二丈一尺三寸五厘；至七月初七日壬子，景二丈一尺一寸九分五厘五毫；初八日癸丑，景二丈一尺四寸八分六厘五毫。用己酉、壬子景相减，以壬子、癸丑景相减，如前法推之，亦合。此取至前后六十一二日景。
三月戊申朔，景二丈一尺六寸一分一厘；至七月初八日癸丑，景二丈一尺四寸八分六厘五毫；初九日甲寅，景二丈一尺九寸一分五厘五毫。用戊申、癸丑景相减，以癸丑、甲寅景相减，准前法推之，亦同。此取至前后六十二三日景。
二月十八日乙未，景二丈六尺三分四厘五毫；至七月二十一日丙寅，景二丈五尺八寸九分九厘；二十二日丁卯，景二丈六尺二寸五分九厘。用乙未、丙寅景相减，以丙寅、丁卯景相减，如前法推之，亦同。此取至前后七十五六日景。
二月三日庚辰，景三丈二尺一寸九分五厘五毫；至八月初五日庚辰，景三丈一尺五寸九分六厘五毫；初六日辛巳，景三丈二尺二分六厘五毫。用前庚辰与辛巳景相减，以后庚辰、辛巳景相减，如前推之，亦同。此取至前后九十日景。
正月十九日丁卯，景三丈八尺五寸一厘五毫；至八月十八日癸巳，景三丈七尺八寸二分三厘；十九日甲午，景三丈八尺三寸一分五毫。用丁卯、甲午景相减，以癸巳、甲午景相校，如前推之，亦同。此取至前后一百三四日景。
推十六年己卯岁冬至
十月二十四日戊戌，景七丈六尺七寸四分；至十一月二十五日己巳，景七丈六尺五寸八分；二十六日庚午，景七丈六尺一寸四分二厘五毫。用戊戌、己巳景相减，余一寸六分为晷差，进二位；以己巳、庚午景相减，余四寸三分七厘五毫为法；除之，得三十六刻；以相减距日三千一百刻，余三千六十四刻；半之，加五十刻，百约，得一十五日；余以十二乘之，百约为时，满五十，又进一时，共得十时；余以十二收之为刻，得二刻；命初起距日戊戌算外，得癸丑日戌初二刻冬至。此取至前后十五六日景。
十月十八日壬辰，景七丈四尺五分二厘五毫；十九日癸巳，景七丈四尺五寸四分五厘；二十日甲午，景七丈五尺二分五厘；至十一月二十八日壬申，景七丈五尺三寸二分；二十九日癸酉，景七丈四尺八寸五分二厘五毫；十二月甲戌朔，景七丈四尺三寸六分五厘；初二日乙亥，景七丈三尺八寸七分一厘五毫。用甲午、癸酉景相减，癸巳、甲午景相减，如前推之，亦同。若以壬申、癸酉景相减为法，推之亦同。此取至前后十八九日景。
若用癸巳与甲戌景相减，以壬辰、癸巳景相减，推之，或癸巳、甲午景相减，推之，或用甲戌、癸酉景相减，推之，或甲戌、乙亥景相减，推之，或以壬辰、乙亥景相减，用壬辰、癸巳景相减，推之并同。此取至前后二十日景。
十月十六日庚寅，景七丈三尺一分五厘；十二月初三日丙子，景七丈三尺三寸二分；初四日丁丑，景七丈二尺八寸四分二厘五毫。用庚寅、丁丑景相减，以丙子、丁丑景相减，推之亦同。此取至前后二十三日景。
十月十四日戊子，景七丈一尺九寸二分二厘五毫；十五日己丑，景七丈二尺四寸六分九厘；十二月初五日戊寅，景七丈二尺二寸七分二厘五毫。用己丑、戊寅景相减，以戊子、己丑景相减，推之，或用己丑、庚寅相减，推之亦同。此取至前后二十四日景。
十月初七日辛巳，景六丈七尺七寸四分五厘；初八日壬午，景六丈八尺三寸七分二厘五毫；初九日癸未，景六丈八尺九寸七分七厘五毫；十二月十二日乙酉，景六丈八尺一寸四分五厘。用壬午、乙酉景相减，以辛巳、壬午相减，推之，壬午、癸未景相减，推之亦同。此取至前后三十一二日景。
十月乙亥朔，景六丈三尺八寸七分；十二月十八日辛卯，景六丈四尺二寸九分七厘五毫；十九日壬辰，景六丈三尺六寸二分五厘。用乙亥、壬辰景相减，以辛卯、壬辰景相减，推之亦同。此取至前后三十八日景。
九月二十二日丙寅，景五丈七尺八寸二分五厘；十二月二十八日辛丑，景五丈七尺五寸八分；二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分五厘。用丙寅、辛丑景相减，以辛丑、壬寅景相减，推之亦同。此取至前后四十七八日景。
九月二十日甲子，景五丈六尺四寸九分二厘五毫；至十二月二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分五厘；至十七年正月癸卯朔，景五丈六尺二寸五分。用甲子、癸卯相减，壬寅、癸卯景相减，推之亦同。此取至前后五十日景。
右以累年推测到冬夏二至时刻为准，定拟至元十八年辛巳岁前冬至，当在己未日夜半后六刻，即丑初一刻。
岁余岁差
周天之度，周岁之日，皆三百六十有五。全策之外，又有奇分，大率皆四分之一。自今岁冬至距来岁冬至，历三百六十五日，而日行一周，凡四周，历千四百六十，则余一日，析而四之，则四分之一也。然天之分常有余，岁之分常不足，其数有不能齐者，惟其所差至微，前人初未觉知。迨汉末刘洪，始觉冬至后天，谓岁周余分太强，乃作《乾象历》，减岁余分二千五百为二千四百六十二。至晋虞喜，宋何承天、祖冲之，谓岁当有差，因立岁差之法。其法损岁余，益天周，使岁余浸弱，天周浸强，强弱相减，因得日躔岁退之差。岁余、天周，二者实相为用，岁差由斯而立，日躔由斯而得，一或损益失当，讵能与天叶哉？
今自刘宋大明壬寅以来，凡测景验气得冬至时刻真数者有六，取相距积日时刻，以相距之年除之，各得其时所用岁余。复自大明壬寅距至元戊寅积日时刻，以相距之年除之，得每岁三百六十五日二十四分二十五秒，比《大明历》减去一十一秒，定为方今所用岁余。余七十五秒，用益所谓四分之一，共为三百六十五度二十五分七十五秒，定为天周。余分强弱相减，余一分五十秒，用除全度，得六十六年有奇，日却一度，以六十六年除全度，适得一分五十秒，定为岁差。
复以《尧典》中星考之，其时冬至日在女、虚之交。及考之前史，汉元和二年，冬至日在斗二十一度；晋太元九年，退在斗十七度；宋元嘉十年，在斗十四度末；梁大同十年，在斗十二度；隋开皇十八年，犹在斗十二度；唐开元十二年，在斗九度半；今退在箕十度。取其距今之年、距今之度较之，多者七十余年，少者不下五十年，辄差一度。宋庆元间，改《统天历》，取大衍岁差率八十二年及开元所距之差五十五年，折取其中，得六十七年，为日却行一度之差。施之今日，质诸天道，实为密近。
然古今历法，合于今必不能通于古，密于古必不能验于今。今《授时历》，以之考古，则增岁余而损岁差；以之推来，则增岁差而损岁余；上推春秋以来冬至，往往皆合；下求方来，可以永久而无弊；非止密于今日而已。仍以《大衍》等六历，考验春秋以来冬至疏密，凡四十九事，具列如后。
冬至刻
《大衍》《宣明》《纪元》《天》《大明》《授时》
献公十五年戊寅岁，正月甲寅朔旦冬至。
丙辰乙卯丁巳乙卯丁巳甲寅
僖公五年丙寅岁，正月辛亥朔旦冬至。
辛亥辛亥壬子辛亥壬子辛亥
昭公二十年己卯岁，正月己丑朔旦冬至。
己丑己丑庚寅戊子庚寅戊子
宋元嘉十二年乙亥岁，十一月十五日戊辰景长。
戊辰戊辰戊辰戊辰戊辰戊辰
元嘉十三年丙子岁，十一月二十六日甲戌景长。
癸酉癸酉癸酉癸酉癸酉癸酉
元嘉十五年戊寅岁，十一月十八日甲申景长。
甲申甲申甲申甲申甲申甲申
元嘉十六年己卯岁，十月二十九日己丑景长。
己丑己丑己丑己丑己丑己丑
元嘉十七年庚辰岁，十一月初十日甲午景长。
甲午甲午甲午甲午甲午甲午
元嘉十八年辛巳岁，十一月二十一日己亥景长。
己亥己亥己亥己亥己亥己亥
元嘉十九年壬午岁，十一月初三日乙巳景长。
乙巳乙巳乙巳乙巳乙巳乙巳
大明五年辛丑岁，十一月乙酉冬至。
甲申甲申甲申甲申甲申甲申
陈天嘉六年乙酉岁，十一月庚寅景长。
庚寅庚寅庚寅庚寅庚寅庚寅
光大二年戊子岁，十一月乙巳景长。
乙巳乙巳乙巳乙巳乙巳乙巳
太建四年壬辰岁，十一月二十九日丁卯景长。
丙寅丙寅丙寅丙寅丙寅丙寅
太建六年甲午岁，十一月二十日丁丑景长。
丁丑丁丑丁丑丁丑丁丑丁丑
太建九年丁酉岁，十一月二十三日壬辰景长。
癸巳癸巳壬辰癸巳癸巳癸巳
太建十年戊戌岁，十一月五日戊戌景长。
戊戌戊戌戊戌戊戌戊戌戊戌
隋开皇四年甲辰岁，十一月十一日己巳景长。
己巳己巳己巳己巳己巳己巳
开皇五年乙巳岁，十一月二十二日乙亥景长。
乙亥乙亥甲戌乙亥甲戌乙亥
开皇六年丙午岁，十一月三日庚辰景长。
庚辰庚辰庚辰庚辰庚辰庚辰
开皇七年丁未岁，十一月十四日乙酉景长。
乙酉乙酉乙酉乙酉乙酉乙酉
开皇十一年辛亥岁，十一月二十八日丙午景长。
丙午丙午丙午丙午丙午丙午
开皇十四年甲寅岁，十一月辛酉朔旦冬至。
壬戌壬戌壬戌壬戌壬戌壬戌
唐贞观十八年甲辰岁，十一月乙酉景长。
甲申甲申甲申甲申甲申甲申
贞观二十三年己酉岁，十一月辛亥景长。
庚戌庚戌庚戌庚戌庚戌庚戌
龙朔二年壬戌岁，十一月四日己未至戊午景长。
戊午戊午戊午戊午戊午戊午
仪凤元年丙子岁，十一月壬申景长。
壬申壬申壬申壬申壬申壬申
永淳元年壬午岁，十一月癸卯景长。
癸卯癸卯癸卯癸卯癸卯癸卯
开元十年壬戌岁，十一月癸酉景长。
癸酉癸酉癸酉癸酉癸酉癸酉
开元十一年癸亥岁，十一月戊寅景长。
戊寅戊寅戊寅戊寅戊寅戊寅
开元十二年甲子岁，十一月癸未冬至。
癸未甲申癸未癸未癸未癸未
宋景德四年丁未岁，十一月戊辰日南至。
戊辰戊辰丁卯丁卯丁卯丁卯
皇祐二年庚寅岁，十一月三十日癸丑景长。
癸丑癸丑癸丑癸丑癸丑癸丑
元丰六年癸亥岁，十一月丙午景长。
丙午丙午丙午丙午丙午丙午
元丰七年甲子岁，十一月辛亥景长。
辛亥壬子辛亥辛亥辛亥辛亥
元祐三年戊辰岁，十一月壬申景长。
壬申癸酉壬申壬申壬申壬申
元祐四年己巳岁，十一月丁丑景长。
戊寅戊寅丁丑丁丑丁丑丁丑
元祐五年庚午岁，十一月壬午冬至。
癸未癸未壬午壬午壬午壬午
元祐七年壬申岁，十一月癸巳冬至。
癸巳甲午癸巳癸巳癸巳癸巳
元符元年戊寅岁，十一月甲子冬至。
乙丑乙丑甲子甲子甲子甲子
崇宁三年甲申岁，十一月丙申冬至。
丙申丙申丙申丙申丙申丙申
绍熙二年辛亥岁，十一月壬申冬至。
癸酉癸酉壬申壬申壬申壬申
庆元三年丁巳岁，十一月癸卯日南至。
甲辰甲辰甲辰癸卯甲辰癸卯
嘉泰三年癸亥岁，十一月甲戌日南至。
丙子丙子乙亥乙亥乙亥乙亥
嘉定五年壬申岁，十一月壬戌日南至。
癸亥癸亥壬戌壬戌壬戌壬戌
绍定三年庚寅岁，十一月丙申日南至。
丁酉丁酉丁酉丙申丁酉丙申
淳祐十年庚戌岁，十一月辛巳日南至。
壬午壬午辛巳辛巳辛巳辛巳
本朝至元十七年庚辰岁，十一月己未夜半后六刻冬至。
己未庚申己未己未己未己未
右自春秋献公以来，凡二千一百六十余年，用《大衍》、《宣明》、《纪元》、《统天》、《大明》、《授时》六历推算冬至，凡四十九事。《大衍历》合者三十二，不合者十七；《宣明历》合者二十六，不合者二十三；《纪元历》合者三十五，不合者十四；《统天历》合者三十八，不合者十一；《大明历》合者三十四，不合者十五；《授时历》合者三十九，不合者十事。
今按献公十五年戊寅岁正月甲寅朔旦冬至，《授时历》得甲寅，《统天历》得乙卯，后天一日；至僖公五年丙寅岁正月辛亥朔旦冬至，《授时》、《统天》皆得辛亥，与天合；下至昭公二十年己卯岁正月己丑朔旦冬至，《授时》、《统天》皆得戊子，并先一日，若曲变其法以从之，则献公、僖公皆不合矣。以此知《春秋》所书昭公冬至，乃日度失行之验。一也。《大衍历》考古冬至，谓刘宋元嘉十三年丙子岁十一月甲戌日南至，《大衍》与《皇极》、《麟德》三历皆得癸酉，各先一日，乃日度失行，非三历之差。今以《授时历》考之，亦得癸酉。二也。大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至，诸历皆得甲申，殆亦日度之差。三也。陈太建四年壬辰岁十一月丁卯景长，《大衍》、《授时》皆得丙寅，是先一日；太建九年丁酉岁十一月壬辰景长，《大衍》、《授时》皆得癸巳，是后一日；一失之先，一失之后，若合于壬辰，则差于丁酉，合于丁酉，则差于壬辰，亦日度失行之验。五也。开皇十一年辛亥岁十一月丙午景长，《大衍》、《统天》、《授时》皆得丙午，与天合；至开皇十四年甲寅岁十一月辛酉冬至，而《大衍》、《统天》、《授时》皆得壬戌，若合于辛亥，则失于甲寅，合于甲寅，则失于辛亥，其开皇十四年甲寅岁冬至，亦日度失行。六也。唐贞观十八年甲辰岁十一月乙酉景长，诸历得甲申，贞观二十三年己酉岁十一月辛亥景长，诸历皆得庚戌，《大衍历议》以永淳、开元冬至推之，知前二冬至乃史官依时历以书，必非候景所得，所以不合，今以《授时历》考之亦然。八也。自前宋以来，测景验气者凡十七事，其景德丁未岁戊辰日南至，《统天》、《授时》皆得丁卯，是先一日；嘉泰癸亥岁甲戌日南至，《统天》、《授时》皆得乙亥，是后一日；一失之先，一失之后，若曲变其数以从景德，则其余十六事多后天，从嘉泰，则其余十六事多先天，亦日度失行之验。十也。
前十事皆《授时历》所不合，以此理推之，非不合矣，盖类其同则知其中，辨其异则知其变。今于冬至略其日度失行及史官依时历书之者凡十事，则《授时历》三十九事皆中，《统天历》与今历不合者仅有献公一事，《大衍历》推献公冬至后天二日，《大明》后天三日，《授时历》与天合。下推至元庚辰冬至，《大衍》后天八十一刻，《大明》后天一十九刻，《统天历》先天一刻，《授时历》与天合。以前代诸历校之，《授时》为密，庶几千岁之日至，可坐而致云。
古今历参校疏密
《授时历》与古历相校，疏密自见，盖上能合于数百载之前，则下可行之永久，此前人定说。古称善治历者，若宋何承天，隋刘焯，唐傅仁均、僧一行之流，最为杰出。今以其历与至元庚辰冬至气应相校，未有不舛戾者，而以新历上推往古，无不吻合，则其疏密从可知已。
宋文帝元嘉十九年壬午岁十一月乙巳日十一刻冬至，距本朝至元十七年庚辰岁，计八百三十八年。其年十一月，气应己未六刻冬至，《元嘉历》推之，得辛酉，后《授时》二日，《授时》上考元嘉壬午岁冬至，得乙巳，与元嘉合。
隋大业三年丁卯岁十一月庚午日五十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计六百七十三年。《皇极历》推之，得庚申冬至，后《授时》一日；《授时》上考大业丁卯岁冬至，得庚午，与《皇极》合。
唐武德元年戊寅岁十一月戊辰日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计六百六十二年。《戊寅历》推之，得庚申冬至，后《授时》一日；《授时历》上考武德戊寅岁，得戊辰冬至，与《戊寅历》合。
开元十五年丁卯岁十一月己亥日七十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计五百五十三年。《大衍历》推之，得己未冬至，后《授时》八十一刻；《授时历》上考开元丁卯岁，得己亥冬至，与《大衍历》合，先四刻。
长庆元年辛丑岁十一月壬子日七十六刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计四百五十九年。《宣明历》推之，得庚申冬至，后《授时》一日；《授时历》上考长庆辛丑岁，得壬子冬至，与《宣明历》合。
宋太平兴国五年庚辰岁十一月丙午日六十三刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计三百年。《乾元历》推之，得庚申冬至，后《授时》一日；《授时历》上考太平兴国庚辰岁，得丙午冬至，与《乾元》合。
咸平三年庚子岁十一月辛卯日五十三刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计二百八十年。《仪天历》推之，得庚申冬至，后《授时》一日；《授时》上考咸平庚子岁，得辛卯冬至，与《仪天》合。
崇宁四年乙酉岁十一月辛丑日六十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计一百七十五年。《纪元历》推之，得己未日冬至，后《授时》十九刻；《授时历》上考崇宁乙酉岁，得辛丑日冬至，与《纪元历》合，先二刻。
金大定十九年己亥岁十一月己巳日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计一百一年。《大明历》推之，得己未冬至，后《授时》一十九刻；《授时历》上考大定己亥岁，己巳冬至，与《大明历》合，先九刻。
庆元四年戊午岁十一月己酉日一十七刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计八十二年。《统天历》推之，得己未冬至，先《授时》一刻；《授时历》上考庆元戊午岁，得己酉日冬至，与《统天历》合。
周天列宿度
列宿著于天，为舍二十有八，为度三百六十五有奇。非日躔无以校其度，非列舍无以纪其度，周天之度，因二者以得之。天体浑圆，当二极南北之中，络以赤道，日月五星之行，常出入于比。天左旋，日月五星溯而右转，昔人历象日月星辰，谓此也。然列舍相距度数，历代所测不同，非微有动移，则前人所测或有未密。古用窥管，今新制浑仪，测用二线，所测度数分秒与前代不同者，今列于左。
日躔
日之丽天，县象最著，大明一生，列宿俱熄。古人欲测躔度所在，必以昏旦夜半中星衡考其所距，从考其所当；然昏旦夜半时刻未易得真，时刻一差，则所距、所当，不容无舛。晋姜岌首以月食冲检，知日度所在；《纪元历》复以太白志其相距远近，于昏后明前验定星度，因得日躔。今用至元丁丑四月癸酉望月食既，推求得冬至日躔赤道箕宿十度，黄道九度有奇。仍自其年正月至己卯岁终，三年之间，日测太阴所离宿次及岁星、太白相距度，定验参考，共得一百三十四事，皆躔箕宿，适与月食所冲允合。以金赵知微所修《大明历法》推之，冬至犹躔斗初度三十六分六十四秒，比新测实差七十六分六十四秒。
日行盈缩
日月之行，有冬有夏，言日月行度，冬夏各不同也。人徒知日行一度，一岁一周天，曾不知盈缩损益，四序有不同者。北齐张子信积候合蚀加时，觉日行有入气差，然损益未得其正。赵道严复准晷景长短，定日行进退，更造盈缩以求亏食。至刘焯立躔度，与四序升降，虽损益不同，后代祖述用之。
夫阴阳往来，驯积而变，冬至日行一度强，出赤道二十四度弱，自此日轨渐北，积八十八日九十一分，当春分前三日，交在赤道，实行九十一度三十一分而适平。自后其盈日损，复行九十三日七十一分，当夏至之日，入赤道内二十四度弱，实行九十一度三十一分，日行一度弱，向之盈分尽损而无余。自此日轨渐南，积九十三日七十一分，当秋分后三日，交在赤道，实行九十一度三十一分而复平。自后其缩日损，行八十八日九十一分，出赤道外二十四度弱，实行九十一度三十一分，复当冬至，向之缩分尽损而无余。盈缩均有损益，初为益，末为损。自冬至以及春分，春分以及夏至，日躔自北陆转而西，西而南，于盈为益，益极而损，损至于无余而缩。自夏至以及秋分，秋分以及冬至，日躔自南陆转而东，东而北，于缩为益，益极而损，损至于无余而复盈。盈初缩末，俱八十八日九十一分而行一象；缩初盈末，俱九十三日七十一分而行一象；盈缩极差，皆二度四十分。由实测晷景而得，仍以算术推考，与所测允合。
月行迟疾
古历谓月平行十三度十九分度之七。汉耿寿昌以为日月行至牵牛、东井，日过度，月行十五度，至娄、角，始平行，赤道使然。贾逵以为今合朔、弦、望、月食加时，所以不中者，盖不知月行迟疾意。李梵、苏统皆以月行当有迟疾，不必在牵牛、东井、娄、角之间，乃由行道有远近出入所生。刘洪作《乾象历》，精思二十余年，始悟其理，列为差率，以囿进退损益之数。后之作历者，咸因之。至唐一行，考九道委蛇曲折之数，得月行疾徐之理。
先儒谓月与五星，皆近日而疾，远日而迟。历家立法，以入转一周之日，为迟疾二历，各立初末二限，初为益，末为损。在疾初迟末，其行度率过于平行；迟初疾末，率不及于平行。自入转初日行十四度半强，从是渐杀，历七日，适及平行度，谓之疾初限，其积度比平行余五度四十二分。自是其疾日损，又历七日，行十二度微强，向之益者尽损而无余，谓之疾末限。自是复行迟度，又历七日，适及平行度，谓之迟初限，其积度比平行不及五度四十二分。自此其迟日损，行度渐增，又历七日，复行十四度半强，向之益者亦损而无余，谓之迟末限。入转一周，实二十七日五十五刻四十六分，迟疾极差皆五度四十二分。旧历日为一限，皆用二十八限。今定验得转分进退时各不同，今分日为十二，共三百三十六限，半之为半周限，析而四之为象限。
白道交周
当二极南北之中，横络天体以纪宿度者，赤道也。出入赤道，为日行之轨者，黄道也。所谓白道，与黄道交贯，月行之所由也。古人随方立名，分为八行，与黄道而九，究而言之，其实一也。惟其随交迁徙，变动不居，故强以方色名之。
月道出入日道，两相交值，当朔则日为月所掩，当望则月为日所冲，故皆有食。然涉交有远近，食分有深浅，皆可以数推之。所谓交周者，月道出入日道一周之日也。日道距赤道之远，为度二十有四。月道出入日道，不逾六度；其距赤道也，远不过三十度，近不下十八度。出黄道外为阳，入黄道内为阴，阴阳一周，分为四象。月当黄道为正交，出黄道外六度为半交，复当黄道为中交，入黄道内六度为半交，是为四象。象别七日，各行九十一度，四象周历，是谓一交之终，以日计之，得二十七日二十一刻二十二分二十四秒。每一交，退天一度二百分度之九十三，凡二百四十九交，退天一周有奇，终而复始。正交在春正，半交出黄道外六度，在赤道内十八度。正交在秋正，半交出黄道外六度，在赤道外三十度。中交在春正，半交入黄道内六度，在赤道内三十度。中交在秋正，半交入黄道内六度，在赤道外十八度。月道与赤道正交，距春秋二正黄赤道正交宿度，东西不及十四度三分度之二。夏至在阴历内，冬至在阳历外，月道与赤道所差者多；夏至在阳历外，冬至在阴历内，月道与赤道所差者少。盖白道二交，有斜有直，阴阳二历，有内有外，直者密而狭，斜者疏而阔，其差亦从而异。今立象置法求之，差数多者不过三度五十分，少者不下一度三十分，是为月道与赤道多少之差。
昼夜刻
日出为昼，日入为夜，昼夜一周，共为百刻。以十二辰分之，每辰得八刻三分刻之一。无间南北，所在皆同。昼短则夜长，夜短则昼长，此自然之理也。春秋二分，日当赤道出入，昼夜正等，各五十刻。自春分以及夏至，日入赤道内，去极浸近，夜短而昼长。自秋分以及冬至，日出赤道外，去极浸远，昼短而夜长。以地中揆之，长不过六十刻，短不过四十刻。地中以南，夏至去日出入之所为远，其长有不及六十刻者；冬至去日出入之所为近，其短有不止四十刻者。地中以北，夏至去日出入之所为近，其长有不止六十刻者；冬至去日出入之所为远，其短有不及四十刻者。今京师冬至日出辰初二刻，日入申正二刻，故昼刻三十八，夜刻六十二；夏至日出寅正二刻，日入戌初二刻，故昼刻六十二，夜刻三十八。盖地有南北，极有高下，日出入有早晏，所以不同耳。今《授时历》昼夜刻，一以京师为正，其各所实测北极高下，具见《天文志》。