↓1.天球围绕着地轴的旋转、天极。
↓2.北极星与大熊星座。
↓3.如何找到北极星、长蛇座。
↓4.极的名称、四个方位、辨别方向的各种不同方法。
↓5.物体的视觉大小随着距离的远近而变化。
↓6.星体间距离的初步估量。
↓7.在地球上不同地点所看到的北极星。
↓8.极的天顶距与极的离地高度。
↓9.宇宙的观测标杆。
↓10.平行线与同位角、实验证明、极的天顶距所提供的地理信息。
↓11.纬度及其如何测出、做一个地球模型、路名与门牌号。
↓1.在一个转动着的巨大车轮上，停着一只小小的蚂蚁。倘若它能够思考的话，它会认为自己是静止不动的。这是因为，在它看来，带动它一起转动的轮子上的各个点，一直都处于相同的状态。但它周围的那些物体，大地、树木、天空，在它的眼中却一直都是在转动着的，而且与带动它一起转动的轮子的转动方向是相反的。除了与轮轴相对的那些物体，它们保持静止不动，其他所有物体仿佛都在围绕着这根轴旋转。因为在这只小蚂蚁看来，轮子上实际转动的轴就是其他所有外物围绕旋转的那根轴。对于我们这些微不足道的人类而言，我们也同样无法感知到地球这个巨大的机器的转动。我们以为自己是静止不动的，我们错误地认为天空是一个包围着我们的球，它围绕着我们从东向西转动。这样看来，似乎天空中的每一个点都围绕着可以无限延伸的地轴在转圈，仅有两个点是静止不动的，那就是地轴延长线跟天球的交点，这两个点称为天极。每一个天极都位于天球上，与地球上的地极相对应。
↓2.以上所做的解释有助于我们认识到地轴在太空中的方向，尽管这根轴是看不见的，它完全是想象出来的。实际上，只要我们观察一下哪颗星的位置是静止不动的就行了，或者如果没有一颗是完全静止不动的，那么我们就可以找找看哪一颗转动的圆圈是最小的就行了。在我们看来，天极就位于这个最小的圆圈的中心。此外，地球的轴也会指向这一点。我们可以在地球的另一边做相同的观察，找到另一个天极的位置。由于地球是球形凸起的，因此我们在地球的这边是看不到另一个天极的。
距离我们这个天极最近的那颗星星，我们称之为北极星。确切地说，它并不是完全不动的。它围绕着天极作非常小的圆圈运动。为了找到这颗星，我们可以在一个晴朗的夜晚，找一片空旷的地方，以太阳升起的那个方向为右，也就是面对着北方的天空。（我假设你们已经注意到了太阳是从哪边升起的。）这样，我们就可以在地平线上看到有群星星，即一个星座。我们称之为大熊星座。该星座是由七颗星星组成的：四颗非常明亮的星星排列成一个长方形，另外三颗排成一条不规则的线，它们处于长方形的一个角上。由于该星座非常大也非常亮，所以它很容易被注意到。这也是因为在它所处的那片天空中，没有其他的星星能够和它相媲美。因为它离天极最近，因此整个晚上我们都可以看到它。它围绕着轴转动，有时候升得很高，有时候升得很低，但对我们所处的地区而言，它从来不会降落到地平线以下。
图27画出了我们刚才所说的星座的形状。四颗星星构成了熊的身体，而另外三颗构成了熊的尾巴。我们用线画出一只动物即熊的轮廓，这纯粹是想象的。为了认识成千上万的星星，天文学家就商量着在天空中划出不同的区域，然后根据每个区域与之相似的动物或东西，给它们取个名字。天空中的每个这样的区域都可以称作星座。图27中的区域就是大熊星座所处的天空的部分。在这个区域，有很多颗星星，其中七颗是最耀眼的。我们在图上只把这七颗星星画出来了，而把其他的星星都省略掉了。这样看来，用大熊星座来命名天空的这片区域，是一个简单的约定。但是我们也要认识到，这一做法是非常糟糕的。为了将天空中的这三颗明亮的星星归入这个星座，这个大熊就有一根很长的尾巴，但真正的大熊根本不会有这么长的尾巴。有人也会把大熊星座这七颗星称为戴维的四轮马车。在这种情况下，构成长方形的这四颗星表示车子和它的四个轮子，而另外三颗星则表示车辕。
↓3.在大熊星座的外面，根据观察时间的不同，要么在它的上面，要么在它的下面，要么在它的旁边，我们还可以看到一个星群，也像大熊星座那样似的排列。不过它没有大熊星座那么亮，也没有大熊星座那么大。其中四颗星星构成一个不规则的四方形，而另外三颗则位于该四方形的一个角上，形成一条尾巴的形状。我们将这个新的星座称为小熊星座。我们注意到，小熊星座的尾巴所朝向的方向总是与大熊星座相反，而且，小熊星座尾巴末端的那颗星星P，是该星座中最亮的那颗星星，如图27所示。这颗星星P就是北极星。当整个天空看上去似乎都在从东往西作圆周运动的时候，这颗星星就是仿佛保持几乎不动的那颗星星。也就是在这颗星星的周围，是想象中的地轴的延长线与天球相交的地方，即天极所在。当我们知道了大熊星座时，要想很容易地找到北极星，我们可以按照如下的方法去做：连接大熊星座四边形最外边的两颗星星，划一条直线向天空延伸出去，在延伸线上会遇到一颗比周围的星星都要亮的星星，这颗明亮的星星就是北极星。要检验一下有没犯错，我们可以观察一下，我们所找到的这颗星是不是与大熊星座相似、但尾巴朝向相反的小熊星座的尾巴末端那颗星。
在另一个天极上，并没有这么耀眼的星星。离它最近的星座，我们称为长蛇座。我们在这里谈论天空中的这一片区域是没用的，这是因为，我们中的大部分人可能永远都没有机会见到它。
↓4.我们是根据熊星座来给地球的两极命名的。与北极星相应的那一极，我们称为北极（p？觝l.artique），它起源于希腊词arctos，这个词的意思是熊。北极是离我们较近的一极。处于地球直径另一端的那极称作南极（p？觝l.antarctique），它的意思就是“与熊相对”。
地轴的方向与星体视动的方向决定了四个方位，即北方、南方、东方、西方。地轴的方向是南北方向，而星体视动的方向是东西方向。通过上述方法来确定这四个方位，我们称为定方位。在白天的时候，为了要辨别方向，我们可以面向太阳升起的方向，在我们的前面就是东方，后面就是西方，左边是北方，右边是南方。我们还可以面向太阳落下的方向，这时候，我们前面就是西方，后面就是东方，左边是南方，右边是北方。在夜晚时候要辨别方向的话，只要面对北极星或是大熊星座，那么这时候我们的前面就是北方，后面就是南方，右边是东方，左边是西方。这四个方位每个都有一些不同的名字：北方又称做septention（北方）；南方称为midi（南方）；东方称为orient（东方）或levant（太阳升起的地方）；而西方则称为oct（西方）或cout太阳落下去的地方。在地图上，北方总是在上面，而南方总是在下面的；东方总是在右边，而西方则总是处于左边。
↓5.北极星离我们很远吗？一般来说，那些星星距离我们有多远呢？我们现在用最简单的天文学仪器就可以回答这一问题。望远镜，正如它的名字所指的那样，它可以使我们看到比事实上更近一些的东西。它可以将物体带到我们眼前，使它们进入我们的视野之内。将一本书放置在距离我们300米远的地方，那我们一页也读不下去，不仅读不下去，而且我们还不能看清楚这本书。但如果我们用一个600倍的望远镜来看，那么这本书就会被带到离我们半米远的地方。通过望远镜，书上的字就仿佛在我们眼前一样，可以看得清清楚楚。望远镜把物体带到我们眼前时，同时也会把它放大，这会使我们看起来比较容易一些。一个物体离我们越远，那么它上去就会越小；当它靠近我们或是我们向它靠近时，它就会变得越大。远处地平线上的高山，在我们看来它的轮廓不算大。但当我们靠近它时，我们就会为它的庞大而感到震撼。在离我们几千米外的一座大房子，看上去仿佛只是个白色的小点，但当我们离它足够近的时候，我们才会看清楚它真正会有多高大。因此，望远镜通过拉近星体与我们的距离，从而使得星体放大。星体放大的倍率与拉近的距离成正比。也就是说，通过望远镜，一颗星星与我们的距离缩短了一百倍，那么它看上去也放大了一百倍。
↓6.假如我们将一个倍率为100倍的天文望远镜瞄准月亮，那么月亮的圆盘就会比我们不用望远镜看时要大上100倍。我敢肯定，月亮上面的景象会令你目瞪口呆。放大了100倍的月亮，在我们的眼中会是巨大无比的：上面有广阔的灰色原野，还有呈环形凹陷状的巨大火山口，除此之外我们还能看到高耸的山岭，它的山峰在太阳的照耀下闪闪发光。但这些都不是我们现在要关注的东西，在下文中我们会再讲到这些。我们只是要证明，通过天文望远镜将月亮离我们的距离拉近了100倍，同时也将月亮放大了100倍。
现在我们用同一个望远镜来观察天空中最亮的星星。无疑，星星离我们的距离会拉近100倍，它也会放大100倍，那么它应该会有一个巴掌大小。然而，即使用一个更高倍的天文望远镜来看，这颗星星也只是一个小小的亮点。在我们眼中，它离我们近了100倍，但它没有被放大，相反，它还变得更小了。这是因为，确切地说，望远镜把围绕在星星周边的放射出来的模糊光芒给消去了。那我们再试试1000倍、5000倍、8000倍或是1万倍的望远镜吧，所有这些望远镜都没有区别，星星还是那么小，我们还是不能看到星星有所放大。我们要使星星放大的一切努力都失败了。原因只有一个，即星星与我们的距离要比月亮远得多。对于月亮而言，我们可以轻而易举地通过望远镜来把它放大后进行观察，星星距离我们是如此的遥远，即使把它放大1万倍，我们也还是没有什么办法能够使它看起来比原来更大。但是月亮与地球的距离却足够地近，这点不需要我们作过多解释，大家对此都是认可的。这就说明，地球与最亮的星星之间的距离要比地球与月亮之间的距离大上无限倍，否则的话，我们通过望远镜将星星拉近、把它放大之后就能看到它变大了。那么，其他没有这么亮的星星呢，比如北极星，以及那些我们刚好能够看得见的星星，它们又会有多远呢？要估测出这些不可思议的距离，我们就得把这些大得无法测量的距离一个个叠加起来；要估算出这些星星的距离，我们就得把我们的想象延伸到不可想象的地方。北极星距离我们是如此的遥远，它离我们的距离远得无法想象：地球尽管有这么巨大，但跟离北极星的距离比起来，它只是一颗小小的球，甚至比一粒灰尘更小，就跟没有一样。
↓7.由于地球是球形的，因此我们看到的北极星，它在天空中的高低，取决于我们在地球上所处的位置。因此，一个站在北极的观察者，如图28所示，他站在北极，也即点P处，正好能看到北极星位于他的头顶上空。在这种情况下，北极星正好处于天空的中间，位于A′A即地轴的延长线上。如果观察者从P点移至B点，那么他会在哪个方向能看到北极星呢？——他还是会在同样的方向上看到北极星。这是因为，他在地球上移动的距离大小，相对于北极星与我们之间的遥远距离来说，根本是微乎其微的。他会顺着Bb的方向看到它，如图28所示，Bb的方向是与PA一致的，也就是说，Bb是跟PA平行的。
严格来说，我们顺着看的PA与Bb这两条线是相交的，这是因为，它们都可以延伸至北极星。但是由于它们相交的点是离地球非常非常遥远的，因此为了在计算过程中不出现任何错误，我们就把这两条线看成是永远不相交的，即平行。这样，处于B点的观察者，他会在与PA平行的Bb方向上也看到北极星。不过，根据图28所示，在处于B点的观察者看来，这颗星并不位于天空的顶端，即天顶（径直位于头顶上空的那个点，也即铅垂线BO延长线上的那个点）。不过在处于B点的观察者看来，它现在处于天顶与地平线之间。当观察者从P点移至B点之后，他会发现，北极星从天顶处往地平线的方向移动了些距离。而当他移至C点时，这一点更为明显了，北极星还是在平行线Cc的延长线上才能被看到，而它现在离天顶的那个角度是HCc，比之前的那个角度大了一些，并且由此它离地平线又近了一些。而当观察者移至D点之后，他看到北极星离原先天顶的距离更大了……到最后，在赤道上的E点处，观察者刚好能够在地平线上平视看到它，也即它处于与地球表面相切的线Ee的延长线上。如果我们越过赤道到了另一个半球，那么观察者就看不到北极星了，
这时，它处于地平线的下方。地球凸起的球形形状，挡住了我们望向北极的视线。但过了赤道以后，南极周围的星群就都能被我们看到了，并且随着观察者逐渐靠近南极，就可以看到那些星群渐渐地从地平线上升起。
↓8.现在我们来总结一下。在地球的北极，北极星位于天空的顶部，径直处于观察者的头顶上空。随着观察者从北极向赤道靠近，他就会看到这颗星星逐渐地从天顶向地平线移动。在赤道上，观察者会在地平线上看到北极星，而过了赤道以后，观察者就看不到北极星了。然而，当观察者从地球另一极向赤道靠近时，这种现象也会再一次发生：处于南极的星群，随着观察者由赤道走向南极或是由南极向赤道靠近，那些星群也会从地平线上升起或是从天顶下落至地平线。
在任何一点，我们把北极星的方向与该点铅垂线所构成的角称为极的天顶距。在地球北极上时，该角为零度。这是因为，处于北极时，北极星位于天顶，正处于该地铅垂线向天空延伸的线上。而在地球赤道上时，该角大小为90度。对于地球上任意一点，我们把北极星与该点地平线之间的夹角称为该点的极点高度。这个角在地球北极处是90度，而在赤道处的大小为零度。极的天顶距加上极点高度，所得的和是90度，这是因为，它们两者合在一起，也即从头顶处的点量至地平线的边界处，就包括了四分之一的天空圆周。
↓9.对极的天顶距的考察是非常重要的：它是绘制地图的基础。当有人让你们画一张普通地图时，首先你们就要在地图册上找一个模板。你们的任务仅仅是摹画一张地图。普通的图可以临描一下就能很快地完成。但是第一批地图是怎么画出来的呢？那时人们并没有模板呀！要画一张大陆的地图，这并不像画其他的东西一样，因为我们看不到整个大陆的全貌。我们生活在地面上，我们的视野只能达到不远处，我们很难看到邻近村庄的教堂钟楼楼顶。要让我们画出地球的肖像来，要把整幅世界的地图画出来，要在地图上画出陆地和海洋的轮廓来，要做到这所有的一切，我们只有从天空的顶部去看，我们的视野要俯瞰整个半球。这几乎就像要求一个瞎子去画出一幅风景的素描来一样，要完成这样的任务这几乎是不可能的。不用说去看到地球表面的一个很大部分，我们甚至都不能完全看到一个省或是一个州的全貌。地理学家将问题转化为：确定星星在天空中的位置。为了描画地球，他们首先要观察天空。为了描绘出一幅精确的地图，只要观测一下星星就可以了，它们是宇宙中放射着光芒的观测标杆。下面我们先来讨论一下这种神奇而巧妙的方法中的最基础部分。
↓10.在下方的图29中，以点O为中心的圆所代表的是地球。点P与P′分别是两极，AA′是可以延伸至北极星的地轴。EE′是赤道。一个观察者处于B点，他想要知道自己在地球上的位置。因此，他就用一个经纬仪来测量角VBb的大小，这个角是由连往北极星的视线BB′与铅垂线VB所形成的夹角。换句话说，他要测量的是极的天顶距。我们假设他测得的角的大小是30度。观察者刚才所测到的角VBb与角BOP的大小是相等的，后者是由经过观察者所处点B与地球中心O相联结形成的地球半径和地轴所形成的夹角。你只要看一下这个图，就会认为这两个角是相等的。更何况，几何学已经证明，由于直线OA与直线Bb这二者是平行的，所以这两个角是相等的。通过这种巧妙的间接办法，观察者就可以知道以地球中心为顶点的角的大小，而且就像他把一个经纬仪放到天空中去实际测量一样地精确。在前面的课程中，我们已经讲到过相类似的事情，所以在这里，如此精确地测量出我们所看不见的一个角的大小，我们对此不必大惊小怪。
好啦，现在我们知道了角BOP是由地球半径与地轴所形成的夹角，但我们是否了解这个角对于处于地球上的该点观察者而言意味着什么呢？——它让我们知道了很多东西呢。这是因为，如果该角的大小是30度，那么从极点至观察者的这段地表弧线PB，它的大小也是30度。而从观察者到赤道的这段地表弧线BE，它的大小则是60度，这是由于这两段弧线共同构成了一个圆的四分之一周。我们把这些角的度数转化为长度。围绕地球一圈的圆周的四分之一长是一万千米。由于地表弧线PB的大小是30度，而地表弧线BE的大小是60度，那么PB的长度是一万千米的三分之一，而BE的长度是一万千米的三分之二。对极的天顶距的测量告诉我们，该点到地球上北极的距离是3333千米，它到赤道的距离是6667千米。你们难道还不明白极的天顶距对测量的价值吗？看一下经纬仪，几乎无需做任何工作，我们就能知道这两个不能直接测量的距离。
↓11.我们继续往下讲。纬度指的是一个地点与赤道之间的度数。这个距离是在围绕地球并经过两极的大圆上测量出来的。由此，图29中的点B的纬度是60度，因为大圆BE的弧，也即该点与赤道之间的这段弧，我们刚已求得是60度。由前文所述我们可知，要得到地球表面上一个点的纬度，只要测量该点的极的天顶距，然后用90度来减去天顶距的度数，便可以得到那个点的纬度。我们一定要注意，当我们提起一个点到赤道的距离时，我们应该要确定该点是在赤道的北边还是南边，是在北半球还是在南半球。由此，存在着两种纬度，对于所有位于赤道北部的点，它们的纬度都是北纬；而所有位于赤道南部的点，它们的纬度都是南纬。前者通过观察北天极的天顶距的角得知，后者则通过观察南天极的天顶距的角得知。
也就是说，假设我们观察地球上的一个点，发现它的纬度是北纬26度。现在我们只需在我们所绘制的地球模型上精确地标出该点就可以。首先，我们用纸板来做一个地球模型，然后用一根铁针穿过它，来代表地轴。这根针穿透地球模型而得到的两个点就是两极。然后围绕该球画一个大圆，使它上面每一个点到两极的距离都相等，这就是赤道。为了要在这个球上标注出我们所说的那个点，首先就要在这个纸球上画一个大圆PAP′，使它经过两极，如图32所示。在这个大圆上，从赤道起向北量26度，如图32所示，由此得到点A。然后我们画一个经过A点的小圆BAC，使它与赤道平行。现在我们可以肯定，我们要在球上标出的那个点，它必定位于这个小圆上，要么它处于图32中可见的部分，也即该球朝向我们的这一面；要么它处于不可见的那部分，即背面部分。这是因为，该小圆上的所有点，都处于北纬26度，也就是都处于赤道以北26度的地方。我们通过标明地球上不同点的纬度，就可以准确地找到这些点所在的那些平行于赤道的小圆，即纬圈。这些纬圈或是处于赤道的上边，或是处于赤道的下边。这样，我们如实地描绘出地球的工作就完成了一半。要找到一个居住在大城市里的人所住的地方，我们只需知道他的地址，即知道他居住的路名与门牌号就可以了。同样，我们要在所做的地球模型上标示出所说的点，首先要知道他所在的路，也就是它所处的平行圆，它所处的纬度，而这可以通过观察天极得知。但仅仅这些还是不够的，我们还要知道它的门牌号，也就是它在所处纬圈上的位置，而这是我们在下一讲中将要学到的。